Bistabilität

Mit dem Modell und dem daraus resultierenden Programm läßt sich nun das Entstehen einer Hysterese in der $N_s$-$V_g$-Kennlinie bei einer Temperatur von $T=77\ K$ nachvollziehen. Wir nehmen zunächst an, daß Augerrekombination der Rekombinationsmechanismus ist. Mit einem berechneten Literaturwert für den Koeffizienten in der Ratengleichung von $T_{\text {Auger}}^{2d} = 2.0 \times 10^{-20}\ sec^{-1} m^4$ [Usk98] ergibt sich eine Kennlinie, wie sie in Abbildung 3.7 zu sehen ist. Up-Sweep und Down-Sweep sind durch entsprechende Pfeile gekennzeichnet. Die Kennlinie stimmt hervorragend mit den experimentellen Ergebnissen überein - vergleiche Abbildung 3.4.

Abbildung 3.7: Hysterese in der $N_s$-$V_g$-Kennlinie, modelliert mit der Augerrekombination als Rekombinationsmechanismus ( $T_{\text {Auger}}^{2d} = 2.0 \times 10^{-20}\ sec^{-1} m^4$ [Usk98]). Deutlich ist der Unterschied zwischen Up-Sweep und Down-Sweep zu sehen. Die rote Kurve zeigt die stationäre Lösung, also für $\partial _t n^{QD} = 0$.

Abbildung 3.8: Mittlere Besetzung der Quantenpunkte beim Sweepen, modelliert mit der Augerrekombination als Rekombinationsmechanismus ( $T_{\text {Auger}}^{2d} = 2.0 \times 10^{-20}\ sec^{-1} m^4$ [Usk98]). Ab $0.8\ V$ werden die Quantenpunkte beim Up-Sweep besetzt, in diesem Bereich verläuft die $N_s$-$V_g$-Kennlinie flach (Abbildung 3.7). Die maximale Besetzung beim Sweepen ist deutlich geringer als bei der stationären Lösung (rot).

Ebenfalls in der Graphik zu sehen ist eine Kennlinie, bei der nicht die Spannung in endlicher Zeit durchgefahren wurde, sondern für jeden Spannungsschritt die Besetzung der Quantenpunkte sich aus der stationären Ratengleichung $\partial _t n^{QD} = 0$ ergibt. Diese Besetzung ist die Gleichgewichtsbesetzung, man spricht aufgrund $\partial _t n^{QD} = 0$ von einer stationären Rechnung. Messungen, die man mit der stationären Lösung vergleichen kann, liegen nicht vor.

Abbildung 3.8 zeigt für die dynamische als auch die stationäre Kennlinie die mittlere Besetzung der Quantenpunkte. Ein Vergleich der beiden Rechnungen anhand der Abbildungen liefert bereits erste wichtige Erkenntnisse.

Sowohl der beim Up-Sweep entstehende Ast der Hysterese als auch der beim Down-Sweep entstehende sind nicht mit der stationären Lösung identisch. Die Hysterese in der Kennlinie ist also vollständig transient. Beim Up-Sweep werden die Quantenpunkte geladen, zu sehen in Abbildung 3.8, wobei ein Großteil der Quantenpunkte erst bei höheren Spannungen ( $V_g > 0.8\ V$) besetzt wird. Beim Down-Sweep bleiben die Quantenpunkte geladen. Erklären läßt sich das mit dem Verhalten der Raten $R_n$, zu sehen in Abbildung 3.13. Nur zwischen $0.7\ V$ und $1.0\ V$ ergeben sich nennenswerte Einfangraten. Für den restlichen Spannungsbereich sind sowohl Einfang als auch Emission sehr klein.

Der Grund hierfür ist an der Ratengleichung für den Auger-Prozeß (3.33) ablesbar. Einfang und Emission hängen stark von der Dichte der freien Elektronen $n^{2d}$ in der Umgebung der Quantenpunkte ab. Bei $0\ V$ befindet sich die Leitungsbandkante von GaAs im Bereich der Quantenpunkte weit über dem Quasi-Fermi-Niveau $E_{Fn}$ (Abbildung 3.9), dort befinden sich also sehr wenige Elektronen, entsprechend ist die Rate sehr klein. Bei höheren Spannungen $V_g$ liegt die Leitungsbandkante dicht am Quasi-Fermi-Niveau (Abbildung 3.10), die Zahl der freien Elektronen $n^{2d}$ steigt und damit wachsen auch die Raten. Der Einfang hängt quadratisch von $n^{2d}$ ab, die Emission linear, bei angelegter Spannung überwiegt daher der Anteil des Einfangs in der Ratengleichung. Sind die Quantenpunkte ungeladen, dann ist $n^{QD} = 0$ und folglich auch die Emissionsrate. Bei einer Gatespannung von $0\ V$ und besetzten Quantenpunkten wird jedoch aufgrund der quadratischen Abhängigkeit von $n^{2d}$ der Einfang kleiner als die Emission. Gerade weil aber $n^{2d}$ in diesem Fall klein ist, ergeben sich wiederum nur sehr geringe Emissionsraten.

Aus Abbildung 3.8 ist ersichtlich, daß bei der stationären Rechnung die Quantenpunkte beim Up-Sweep mehr Elektronen aufnehmen als bei der dynamischen Rechnung, daß aber alle Ladungsträger beim Down-Sweep die Quantenpunkte auch wieder verlassen. Damit ist eine Verknüpfung der Hysterese mit der Sweep-Zeit klar erkennbar. Je mehr Zeit das System beim Sweepen hat, um ins Gleichgewicht zu relaxieren, desto mehr nähern sich beide Äste der Hysterese der stationären Lösung. Im Gleichgewicht verschwindet die Hysterese.

Abbildung 3.9: Berechneter Bandkantenverlauf in der Struktur ohne angelegte Spannung (Punkt (a) in Abbildungen 3.7 und 3.8), das Inset zeigt zur Orientierung das Bauteil. Die Quantenpunkte sind ungeladen, der Verlauf der Leitungsbandkante im GaAs ist geradlinig. Im Bereich des 2DEGs liegt die Bandkante unterhalb des Quasi-Fermi-Niveaus.

Abbildung 3.10: Berechneter Bandkantenverlauf in der Struktur mit angelegter Spannung $V_g = 0.9\ V$ (Punkt (b) in Abbildungen 3.7 und 3.8), das Inset zeigt zur Orientierung das Bauteil. Das Energieniveau der Quantenpunkte ist unterhalb des Quasi-Fermi-Niveaus, erstere werden also besetzt. Das 2DEG hat sich ausgedehnt - vergleiche Abbildung 3.9.

Abbildung 3.11: Berechneter Bandkantenverlauf in der Struktur ohne angelegte Spannung mit geladenen Quantenpunkten (Punkt (c) in Abbildungen 3.7 und 3.8), das Inset zeigt zur Orientierung das Bauteil. Aufgrund der Elektronen in den Quantenpunkten hat der Verlauf der Leitungsbandkante im GaAs einen Knick. Dadurch wird die Bandkante im Bereich des 2DEGs partiell über das Quasi-Fermi-Niveau verschoben, das 2DEG verkürzt sich - vergleiche Abbildung 3.9

Aufgrund des detaillierten Modells kann man einen Schritt weitergehen und die Vorgänge im Bauteil genau betrachten, die die Hysterese verursachen. Dazu sollen die in Abbildungen 3.7 und 3.8 mit (a), (b) und (c) bezeichneten Punkte untersucht werden.

Dargestellt in Abbildung 3.9 ist der Verlauf der Leitungsbandkante am Anfang der Kennlinie - entspricht dem Punkt (a) in Abbildungen 3.7 und 3.8. Das Quantenpunkt-Energieniveau liegt weit über dem Quasi-Fermi-Niveau, es ist keine Ladung gebunden. Am Ort des Al$_{0.25}$Ga$_{0.75}$As-GaAs-Übergangs verläuft die Leitungsbandkante unterhalb des Quasi-Fermi-Niveaus, es bildet sich das 2DEG aus. Am rechten Kontakt sieht man anhand des Abstands Bandkante zum Fermi-Niveau die Schottky-Barrierenhöhe $E_s = 1\ eV$. Am linken Kontakt verursacht die Oberflächenladung $\sigma_{\delta}$ einen Knick im Bandkantenverlauf. Die Rechnung ergibt also das, was man aus Abschnitt 3.1 bereits erwarten konnte.

Legt man nun eine Gatespannung $V_g > 0\ V$ an das Bauteil an (Up-Sweep), so verschiebt sich die Leitungsbandkante in Richtung Quasi-Fermi-Niveau - zu sehen in Abbildung 3.10. Das Quantenpunkt-Energieniveau wandert dabei unter das Quasi-Fermi-Niveau - die Quantenpunkte werden besetzt. Ebenfalls taucht die Bandkante im Bereich des 2DEGs tiefer unter das Quasi-Fermi-Niveau, das 2DEG dehnt sich daher bei angelegter Spannung aus, die Konzentration der Ladungsträger erhöht sich. In den Abbildungen 3.7 und 3.8 entspricht das dem Punkt (b).

Beim Zurückfahren der Spannung (Down-Sweep), bewegt sich die Bandkante wieder vom Quasi-Fermi-Niveau weg. Das Quantenpunkt-Energieniveau befindet sich bei $0\ V$ oberhalb der Leitungsbandkante - siehe Abbildung 3.11, entspricht Punkt (c) in Abbildungen 3.7 und 3.8. Die Quantenpunkte sind aufgrund geringer Emissions-Raten besetzt geblieben (siehe auch Abbildung 3.13), im Vergleich zum Startpunkt (a) ist ein deutlicher Knick in der Leitungsbandkante an der Stelle der Quantenpunkte zu erkennen. Durch den so veränderten Verlauf der Bandkante verläuft diese im Bereich des 2DEGs, verglichen mit dem Verlauf bei ungeladen Quantenpunkten (Abbildung 3.9), jetzt partiell oberhalb des Quasi-Fermi-Niveaus. Dadurch wird das 2DEG verkürzt beziehungsweise die Elektronenkonzentration $N_s$ nimmt aufgrund der besetzten Quantenpunkte ab.

Aus Abbildungen 3.7 und 3.8 ist ersichtlich, daß die Besetzung der Quantenpunkte hauptsächlich zwischen $0.8\ V$ und $1.0\ V$ erfolgt. Für diesen Bereich ist die Steigung der $N_s$-$V_g$-Kennlinie null, die Konzentration der Elektronen $N_s$ im 2DEG als konstant. Begreifbar machen kann man sich dieses Verhalten anhand von Abbildung 3.10. Die Quantenpunkte befinden sich zwischen 2DEG und Schottky-Kontakt, das heißt die Ladung in den Quantenpunkten schirmt das 2DEG vor dem Schottky-Kontakt ab. Sind die Quantenpunkte besetzt, verändert sich der Bandkantenverlauf zwischen 2DEG und ersteren nicht mehr, was zu einer konstanten Konzentration der Elektronen im 2DEG führt.