Phonon-assistierte Prozesse

In Abbildung 3.6 sind Einfang und Emission von Elektronen in Quantenpunkten durch Phonon-assistierte Prozesse dargestellt. Beim Einfang geht ein Elektron vom Leitungsband in die Quantenpunkte, der Differenzbetrag der Energie $\Delta E$ wird dabei an das Gitter als Phononen mit der jeweiligen Energie $E_{\text{Phonon}} = \hbar \omega_{\text{Phonon}}$ abgegeben, weshalb auch der Begriff thermische Prozesse verwendet wird. Für diese Rekombination braucht man also einen besetzten Zustand $E_k$ im Leitungsband und einen unbesetzten Zustand $E_{QD}$ in den Quantenpunkten. Mit der gleichen Argumentation wie beim Auger-Prozeß schreibt sich die Wahrscheinlichkeit, daß die Zustände geeignet vorhanden sind, zu

$$P^{einf}_{k QD} = f_k (1-f_{QD}) \quad.$$ (3.19)

Umgekehrt entnimmt bei der Emission das Elektron dem Gitter die Energie $\Delta E$, um von einem Quantenpunkt-Energieniveau ins Leitungsband zu gelangen. Es wird also ein unbesetzter Zustand $E_k$ im Leitungsband und ein besetzter Zustand $E_{QD}$ in den Quantenpunkten benötigt, daraus folgt

$$P^{emiss}_{k QD} = (1-f_k) f_{QD} \quad.$$ (3.20)

Abbildung 3.6: Phonon-assistierte Prozesse an Quantenpunkten - a) Einfang b) Emission, besetzte Zustände sind schwarz, freie weiß ausgefüllt.

Die zeitliche Änderung der Besetzungswahrscheinlichkeit der Quantenpunkte ist, wenn es sich um Phonon-assistierte Prozesse handelt, gegeben durch die Summation aller möglichen Phonon-assistierten Einfänge abzüglich der Summe aller möglichen Phonon-assistierten Emissionen. Jede Wahrscheinlichkeit wird dabei gewichtet mit $\bar T_{k \to QD}$ beziehungsweise $\bar X_{QD \to k }$, den Koeffizienten für Einfang und Emission (Einheit: $\sec^{-1}$). Es ergibt sich also

$$\partial_t f_{QD} = \sum_{k } \bar T_{k \to QD} f_k ( 1 - f_{QD} ) - \sum_{k} \bar X_{QD \to k } f_{QD} \underbrace{( 1 - f_k )}_1 \qquad,$$ (3.21)

die Wahrscheinlichkeit, einen unbesetzten Zustand im Leitungsband zu finden, wird wieder gleich eins gesetzt.

Mit der gleichen Argumentation wie im vorhergehenden Abschnitt, läßt sich aus (3.21) eine Differentialgleichung zur Beschreibung der zeitlichen Änderung der Ladungsträgerdichte in den Quantenpunkten ableiten

$$\partial_t n^{QD} = T_{\text{Phonon}}^{2d} ( n^{2d} p^{QD} - n^{QD} n_1^{2d} ) \qquad.$$ (3.22)