Besetzung der Quantenpunkte

Bestimmt werden soll zuerst die Ladungsträgerdichte in Quantenpunkten, die so wenig Ladungsträger speichern können, daß Vielteilchen-Effekte vernachlässigbar sind (vergleiche [Kap00b]). Dafür werden diskrete Energieniveaus $E_j$ mit Entartung $\alpha_j$ verwendet, die durch Größenfluktuationen der Quantenpunkte inhomogen verbreitert sind. Die Verbreiterung wird durch eine Gaußverteilung approximiert mit einem full-width-at-half-maximum (FWHM) $\triangle E_j$.

Nimmt man an, daß die Quantenpunkte im Quasi-Gleichgewicht mit den Elektronen im Leitungsband sind und mit einer Flächendichte $N_{QD}$ (Einheit: $cm^{-2}$), einer Dicke $d_{QD}$ der Quantenpunktschicht beziehungsweise der Höhe der Quantenpunkte, kann die Dichte pro Volumeneinheit der in den Quantenpunkten lokalisierten Elektronen geschrieben werden als

$$n^{QD} = \frac{N_{QD}}{d_{QD}} \sum_j \frac{\alpha_j}{\sigma_j \s... ...+ E_j)^2}{2 \sigma_{j}^2} )}{1+exp(\beta \lbrack E - \bar E_{Fn} \rbrack)} \ dE$$ (2.7)

mit $\sigma_j = \triangle E_j / \sqrt{8 \ ln2}$, $\bar E_{Fn}$ und $\bar E_{c}$ bezeichnen Quasi-Fermi-Niveau und mittlere Leitungsbandkante im Zentrum der Quantenpunkte [Wet00].

Analog ergibt sich für Löcher

$$p^{QD} = \frac{N_{QD}}{d_{QD}} \sum_j \frac{\alpha_j}{\sigma_j \s... ...- E_j)^2}{2 \sigma_{j}^2} )}{1+exp(\beta \lbrack \bar E_{Fp} - E \rbrack)} \ dE$$ (2.8)

mit der mittleren Valenzbandkante $\bar E_v$ sowie Quasi-Fermi-Niveau $\bar E_{Fp}$ im Zentrum der Quantenpunkte.

Für Quantenpunkte, die sehr viele Ladungsträger aufnehmen können, findet man in der Literatur als Modell für die Besetzung die Energieniveaus eines harmonischen Oszillators [Kap00b], [Tar98]. Exemplarisch soll dieses Modell zur Untersuchung von Ge-Quantenpunkten eingebettet in eine Silizium-Schottkydiode verwendet werden. Diese Ge-Quantenpunkte haben im Vergleich zu anderen Quantenpunkten eine sehr große Grundfläche. Man separiert die z-Abhängigkeit der Quantisierung und nähert das Potential über der Grundfläche durch einen zweidimensionalen harmonischen Oszillator. Die Energieniveaus ergeben sich aus den Lösungen des harmonischen Oszillators $E_n = \hbar \omega ( n + \frac{1}{2})$ mit jeweiliger Entartung $(n+1)$ [Lan85], die Dichte der Löcher in den Ge-Quantenpunkten läßt sich schreiben als

$$p^{QD} = \frac{2 N_{QD}}{d_{QD}} \sum_n \frac{(n + 1)}{1 + exp( \beta \lbrack - \bar E_v - V_0 + E_n + \bar E_{Fp})}$$ (2.9)

$$\omega = \sqrt{\frac{2 V_0}{r^2m_h^*} }$$ (2.10)

mit $V_0$ und $r$ als Tiefe und Radius des harmonischen Potentials (siehe Abbildung 2.4) und der effektiven Masse der Löcher $m_h^*$. Summiert wird über alle gebundenen Zustände $E_n$.

Abbildung 2.4: Harmonischer Potentialverlauf.