Herleitung der Strom-Gleichungen

Ausgangspunkt zur Herleitung der Strom-Gleichungen ist (A.1) - die Boltzmann-Gleichung [Fer91], [Ash76]. Sie beschreibt die Veränderung einer Verteilungsfunktion $f ( \textbf{r}, \textbf{k}, t )$ so, daß sich die Veränderungen durch einwirkende Kräfte (elektrische Felder) im Gleichgewicht halten mit den Veränderungen durch Relaxations-Prozesse.

$$\frac{\partial f ( \textbf{r}, \textbf{k}, t )}{\partial t} = - \... ...\frac{\partial f ( \textbf{r}, \textbf{k}, t )}{\partial t} \right\vert _{coll}$$ (A.1)

Der Term ganz rechts wird Kollisions-Term genannt, der Rest als Drift-Terme bezeichnet. Die Boltzmann-Gleichung stammt aus der statistischen Physik [Rei87] und ist wichtiger Bestandteil der Theorie zur Beschreibung des Transports in Festkörpern.

Unter der Annahme, daß die auftretenden Felder klein sind, werden zur Herleitung desweiteren folgende Gesetzmäßigkeiten für die Terme in (A.1) - hier für Elektronen - benötigt. Bloch-Elektronen innerhalb eines Bandes mit einem Wellenvektor k haben eine mittlere Geschwindigkeit v (Blochgeschwindigkeit) [Ash76]

$$\textbf{v} ( \textbf{r}, \textbf{k} ) = \frac{1}{\hbar} \nabla_k E ( \bf {r} , \bf {k} ) \qquad \,$$ (A.2)

und es gilt ferner

$$\frac{d \bf {k}}{d t} = - \frac{1}{\hbar} \nabla_r E ( \bf {r}, \bf {k} ) \qquad.$$ (A.3)

Der Kollisions-Term schreibt sich in der Relaxationszeit-Näherung (relaxation approximation) zu [Fer91], [Ash76]

$$\left. \frac{\partial f ( \textbf{r}, \textbf{k} , t )}{\partial ... ...textbf{r}, \textbf{k}, t ) - f_{0} ( \textbf{r}, \textbf{k}, t )}{\tau} \qquad,$$ (A.4)

wobei $f_{0} ( \textbf{r}, \textbf{k}, t )$ die Gleichgewichts-Verteilung und $\tau$ die Relaxationszeit ist.

In dieser Arbeit ist $f ( \textbf{r}, \textbf{k}, t )$ die Fermi-Dirac-Verteilung, hier wieder für Elektronen (vergleiche auch Kapitel 1)

$$f ( \textbf{r} , \textbf{k} , t ) = \frac{1}{1 + exp ( \beta ( E ( \textbf{r} , \textbf{k} ) - E_{Fn} (\textbf{r}) )} \qquad.$$ (A.5)

Für die Ableitung der Fermi-Funktion nach r gilt

$$\nabla_r f ( \textbf{r} , \textbf{k} , t ) = \beta ( \nabla_r E (... ...r})) f ( \textbf{r} , \textbf{k} , t ) ( 1 - f( \textbf{r} , \textbf{k} , t ) )$$ (A.6)

und für die Ableitung nach k

$$\nabla_k f ( \textbf{r} , \textbf{k} , t ) = \beta \nabla_k E ( \... ... \textbf{r} , \textbf{k} , t ) ( 1 - f( \textbf{r} , \textbf{k} , t ) ) \qquad.$$ (A.7)

Unterabschnitte

• 0. Moment der Boltzmann-Gleichung
• 1. Moment der Boltzmann-Gleichung